تاریخ : 30 مرداد 1396
زمان : 03:35:04
نظر سنجی
  • جای خالی چه مطلب خاصی را در این وبلاگ احساس می کنید؟

مطالب عادی و روزمره
مطالب بسیار بغرنج و ثقیل الدرک

مشاهده نتایج


موضوعات

منوی کاربری

میهمان گرامی خوش آمدید





آمار وبسایت
  • بازدید امروز : 200 بار
  • بازدید دیروز : 815 بار
  • بازدید ماه : 22273 بار
  • بازدید کل : 559337 بار

  • 1 2 3 4
    تبلیغات
    آخرین ارسال های انجمن
    هیچ ارسال جدیدی برای تالار گفتمان وجود ندارد .
    تثلیث زاویه وتضعیف مکعب

    تثلیث زاویه از مسائل قدیمی و حل نشده ریاضی است. بزرگان ریاضی در طی دوران به راحتی می‌توانستند با کشیدن نیمساز، هر زاویه دلخواه را به دو بخش مساوی تقسیم کنند، ولی در سه قسمت کردن زاویه عاجز بودند، بنابراین تثلیث یا سه بخش کردن زاویه یکی از مسائل عهد باستان گردید. با آشنایی با مثلثات دبیرستانی می‌شود ثابت کرد این مسئله که جزء مسئله‌های طرح شده در شاخه ساختمان های هندسی است با کمک پرگار و خط کش غیر مدرج قابل حل نیست. ولی با حل یک معادله درجه 3 ساده می‌توانیم دریابیم بینهایت زاویه وجود دارد که به کمک پرگار و خط کش غیرمدرج قابل تثلیث است. از جمله زاویه های 90 و 45 درجه و بینهایت زاویه وجود دارد که با این دو وسیله قابل تثلیث نیستند از جمله زاویه 60 درجه. بنابراین زاویه 60 درجه را نمی‌توان به کمک پرگار و خط کش غیرمدرج به سه بخش مساوی تقسیم کرد. تثلیث زاویه، به همراه تربیع دایره، تضعیف مکعب و چند ضلعیهای محاط در دایره از مسائل سه گانه عهد باستان است که طی قرن ها حل نشده باقی مانده بود. با وجود اثبات امکان ناپذیری حل این مسئله و مسئله‌های مشابه با استفاده از پرگار و خط کش غیر مدرج عده ای تلاش می کنند این مسائل را حل کنند.تضعیف مکعب از مسائل باستانی ریاضیات است. یونانیان و قبل از آنها هندیان این مسئله را می شناختند. صورت مسئله این است :

    فقط با به کار بردن خط کش غیر مدرج و پرگار، مکعبی بسازید که حجم آن دو برابر مکعب داده شده باشد. ثابت شده که این مسئله جوابی ندارد.

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان
    ریاضیدانان مشهور دوران باستان

    فیثاغورس در جزیره ساموس، نزدیک کرانه‌های ایونی، زاده شد. او در عهد قبل از ارشمیدس، زنون و اودوکس (۵۶۹ تا ۵۰۰ (پیش از میلاد)) می‌زیست.

    او در جوانی به سفرهای زیادی رفت و این امکان را پیدا کرد تا با مصر، بابل و مغان ایرانی آشنا شود و دانش آن‌ها را بیاموزد. به طوری که معروف است فیثاغورس، دانش مغان را آموخت. او روی هم رفته، ۲۲ سال در سرزمین‌های بیرون از یونان بود و چون از سوی پولوکراتوس، شاه یونان، به آمازیس، فرعون مصر سفارش شده بود، توانست به سادگی به رازهای کاهنان مصری دست یابد. او مدتها در این کشور به سر برد و در خدمت کاهنان و روحانیان مصری به شاگردی پرداخت و آگاهی‌ها و باورهای بسیار کسب کرد واز آنجا روانه بابل شد و دوران شاگردی را از نو آغاز کرد.

    وقتی او در حدود سال ۵۳۰، از مصر بازگشت، در زادگاه خود مکتب اخوتی (که امروزه برچسب مکتب فیثاغورس بر آن خورده‌است) را بنیان گذاشت که طرز فکر اشرافی داشت. هدف او از بنیان نهادن این مکتب این بود که بتواند مطالب عالی ریاضیات و مطالبی را تحت عنوان نظریه‌های فیزیکی و اخلاقی تدریس کند و پیشرفت دهد.

    فیثاغورس نیز به مانند سقراط جانب احتیاط را نگاه داشت و چیزی ننوشت. آموزه‌های وی از طریق شاگردانش به دست ما رسیده‌است. اکنون روشن شده‌است که که شاگردان فیثاغورس، باعث و بانی بخش اعظمی از لباس چهل‌تکه تفکر، آداب و رسوم، ریاضیات، فلسفه و اندیشه‌های عجیب و غریبی هستند که در مکتب فیثاغورس موجود است.

    شیوه تفکر این مکتب با سنت قدیمی دموکراسی، که در آن زمان بر ساموس حاکم بود، متضاد بود. و چون این مشرب فلسفی با مذاق مردم ساموس خوش نیامد، فیثاغورس به ناچار، زادگاهش را ترک گفت و به سمت شبه جزیره آپتین (از سرزمینهای وابسته به یونان) رفت و در کراتون مقیم شد.

    در افسانه‌ها چنین آمده‌است که متعصبان مذهبی و سیاسی، توده‌های مردم را علیه او شوراندند و به ازای نور هدایتی که وی راهنمای ایشان کرده بود مکتب و معبد او را آتش زدند و وی در میان شعله‌های آتش جان سپرد.

    این جمله معروف را دوستدارانش در رثای او گفته‌اند: «Sic transit gloria mundi» یعنی «افتخارات جهان چنین می‌گذرند».

    وی نظرات ریاضی خویش را با ترهات فلسفی و باورهای دینی درهم آمیخته بود. او در عین حال هم عارف و هم ریاضیدان بود و بقولی یکدهم شهرت او نتیجه نبوغ وی و مابقی ماحصل ارشاد و رسالت اوست.

     

    فیثاغورس و مسئلهٔ استدلال در ریاضیات

    برای آنکه نقش فیثاغورس را در تبیین اصول ریاضیات درک کنیم، لازم است کمی درباره جایگاه ریاضیات در عصر وی و پیشرفتهایی که تا زمان وی صورت گرفته بود، بدانیم که این هم به نوبه خود، در خور توجه‌است. جالب است بدانید با اینکه مبنای ریاضیات بر «استدلال» استوار است، قبل از فیثاغورس هیچ کس نظر روشنی درباره این موضوع نداشت که استدلال باید مبنی بر مفروضات باشد. به عبارتی استدلال، مسئلهٔ تعریف شده‌ای نبود.

    در واقع می‌توان گفت بنا به قول مشهور، فیثاغورس در میان "اروپاییان" نخستین کسی بود که روی این نکته اصرار ورزید که در هندسه باید ابتدا «اصول موضوع» و «اصول متعارفی» را معین کرد و آنگاه به اتکاء آنها که «مفروضات» هم نامیده می‌شوند، روش استنتاج متوالی را پیش گرفت به پیش رفت. از نظر تاریخی «اصول متعارفی» عبارت بود از «حقیقتی لازم و خود بخود واضح».

    اینکه فیثاغورس استدلال را وارد ریاضیات کرد، از مهم‌ترین حوادث علمی است و قبل از فیثاغورس، هندسه عبارت بود از مجموعه قواعدی که ماحصل تجارب و ادراکات متفرق بوده‌اند؛ تجارب و قواعدی که هیچگونه ارتباطی با هم نداشتند حتی کسی در آن زمان حدس نمی‌زد مجموعهٔ این قواعد را بتوان از عدهٔ بسیار کمی اصول نتیجه گرفت. در صورتی که امروزه حتی تصور این موضوع که ریاضیات بدون استدلال چه وضع و حالی داشته‌است برای ما ممکن نیست. اما در آن عصر این موضوع گام بلندی به سوی نظام قدرتمند هندسه محسوب می‌شد.

     

    مجمع فیثاغورثی

    بنیان فلسفی مجمع فیثاغوری بر آموزش رازهای عدد قرار داشت. به اعتقاد فیثاغورسیان، عدد، بنیان هستی را تشکیل می‌دهد، علت هماهنگی و نظم در طبیعت است، رابطه‌های ذاتی جهان ما، حکومت و دوام جاودانی آن را تضمین می‌کند. عدد، قانون طبیعت است، بر خدایان و بر مرگ حکومت می‌کند و شرط هرگونه شناخت و دانشی است. چیزها، تقلید و نمونه‌ای از عدد هستند.

    شعار مدرسه فیثاغورثی «همه چیز اعداد است» بوده است. [۱]

    چنین برداشت ستایش‌آمیزی از عدد، با خیال‌بافی‌های اسرارآمیزی درآمیخته بود، که همراه با مقدمه‌های ریاضی، از کشورهای خاورنزدیک اقتباس شده بود.

    فیثاغوریان، ضمن بررسی نواهای موزون و خوش‌آهنگی که در موسیقی به دست می‌آید، متوجه شدند که آهنگ موزون روی صدای سه سیم، زمانی به دست می‌آید که طول این سیم‌ها، متناسب با عددهای ۳ و ۴ و ۶ باشد. فیثاغوریان این بستگی عدد را در پدیده‌های دیگر نیز پیدا کردند. از جمله، نسبت تعداد وجه‌ها، راسها و یال‌های مکعب هم برابر است با نسبت عددی ۶:۸:۱۲.

    همچنین فیثاغوریان متوجه شدند که اگر بخواهیم صفحه‌ای را با یک نوع چندضلعی منتظم بپوشانیم، فقط سه حالت وجود دارد؛ دور و بر یک نقطه از صفحه را می‌توان با ۶ مثلث متساوی‌الاضلاع، با ۴ مربع، و یا با ۳ شش‌ضلعی منتظم پر کرد، به طوری که دور و بر نقطه را به طور کامل بپوشاند. همانطور که مشاهده می‌شود، تعداد این چندضلعی‌ها با همان نسبت ۳:۴:۶ مطابقت دارد و اگر نسبت تعداد اضلاع این چندضلعی‌ها را در نظر بگیریم، به همان نسبت ۳:۴:۶ می‌رسیم.

    بر اساس همین مشاهده‌ها بود که مکتب فیثاغوری اعتقاد داشت همهٔ پدیده‌های گیتی از بستگی‌های عددی مشخصی پیروی می‌کنند و یک هماهنگی وجود دارد. از جمله فیثاغوریان گمان می‌کردند فاصلهٔ بین اجرام آسمانی را تا زمین در فضای کیهانی می‌توان با نسبت‌های معینی پیدا کرد. به همین دلیل بود که در مکتب فیثاغوری به بررسی دقیق نسبتها پرداختند. آنها به جز نسبت حسابی و هندسی، دربارهٔ نوعی بستگی هم که به همساز یا توافقی معروف است، بررسی‌هایی انجام دادند.

    سه عدد را به نسبت همساز گویند وقتی که وارون آنها به نسبت حسابی باشد. به زبان دیگر سه عدد تشکیل تصاعد همساز یا توافقی می‌دهند، وقتی وارون آنها تصاعد حسابی باشد. سه عدد ۳، ۴ و ۶ به نسبت توافقی هستند، زیرا کسرهای ۱/۳، ۱/۴ و ۱/۶ به تصاعد حسابی هستند زیرا:

     

    به مناسبت اهمیت بی‌اندازه‌ای که مکتب فسثاغوری برای عدد قایل بود و فیثاغوریان توجه زیادی به بررسی و کشف ویژگی‌های عددها می‌کردند، در واقع، مقدمه‌های نظریه عددها را بنیان گذاشتند. با وجود این، مکتب فیثاغوری هم، مانند همه یونانی‌های آن زمان، عمل محاسبه را دور از اعتبار خود، که به فلسفه مشغول بودند، می‌دانستند. آنها مردمی را که به کارهای معیشتی و عملی می‌پرداختند و بیشتر از برده‌ها بودند، پست می‌شمردند و لوژستیک می‌خواندند. فیثاغورس می‌گفت که او حساب را والاتر از نیازهای بازرگانی می‌داند.به همین مناسبت در مکتب فیثاغوری، حتی شمار عملی هم مورد توجه قرار نگرفت. آنها تنها در باره ویژگی‌های عددها کار می‌کردند. در ضمن، ویژگی عدد را هم به یاری ساختمان‌های هندسی پیدا می‌کردند. با وجود این، رواج نوعی دستگاه مناسب برای عدد نویسی را در یونان، به فیثاغوریان و یا هواداران نزدیک آنها نسبت می‌دهند.در این نوع عدد نویسی که از فینیقی‌ها گرفته بودند، از حرف‌های الفبای فینیقی، برای نوشتن عددها استفاده شد: ۹ حرف اول الفبا برای عددهای از ۱ تا ۹، ۹ حرف بعدی برای نشان دادن دهگان (۲۰، ۱۰،...، ۹۰) و ۹ حرف بعدی برای صدها (۲۰۰، ۱۰۰،...، ۹۰۰). برای حرف از عدد تشخیص داده شود، بالای عدد خط کوتاهی می‌گذاشتند. برای نشان دادن عددهای بزرگ‌تر از نشانه‌های اضافی استفاده می‌کردند. وقتی نشانه‌ای شبیه ویرگول را جلو عددی می‌گذاشتند، به معنای هزار برابر آن بود، برای ده هزار برابر عدد، یک نقطه جلو عدد می‌گذاشتند.

     

    نظرات پیشینیان درباره فیثاغورث

    پروکلوس درباره فیثاغورث می‌گوید:«فیثاغورث این علم (علم ریاضیات) را به شکل آزاد آموزشی، امتحان کردن قواعد آن از آغاز و جستجوی قضایا به روشی غیر مادی و ذهنی تغییر داد. او نظریه متناسب‌ها و ساخت اشکال کیهانی را کشف کرد.» [۲]

     

    ریشه‌های شرقی دانش فیثاغورسیان

    کالین رنان، پژوهشگر و نویسندهٔ چند کتاب دربارهٔ تاریخ علم و از نویسندگان دانش‌نامهٔ بریتانیکا، در کتاب تاریخ علم کمبریج، به گوشه‌هایی از ریشه‌های شرقی دانش یونانیان اشاره کرده‌است:

    فیثاغورس نزدیک سال ۵۶۰ پیش از میلاد در جزیرهٔ ساموس(در ۵۰ کیلومتری میلتوس) به دنیا آمد. او به یک جنبش نوزایی مذهبی پیوست که پیروان آن باور داشتند روح می‌تواند از تن بیرون رود و به بدن انسان دیگری وارد شود و این باور به احتمال زیاد ریشهٔ شرقی دارد.

    فیثاغورس در جوانی از مصر و بابل دیدن کرد و شاید همین دیدار بود که به او انگیزه داد ریاضیات بخواند و بگوید همه چیز عدد است. او جبر، هندسه و هارمونی را از تمدن میان‌رودان آموخت. [۳]

    فیثاغورس می‌توانست قانون ۳-۴-۵ را که دربارهٔ طول ضلع‌های مثلث قائم الزاویه‌است، از مصریان آموخته باشد، اما پژوهش‌های اخیر نشان می‌دهد که در بابل به چیزی برخورد که ما آن را نسبت فیثاغورسی می‌نامیم. بابلی‌ها پی برده بودند که عدهای نسبت می‌توانند ۳-۴-۵ یا ۶-۸-۱۰ یا ترکیبی از این دست باشند که اگر بزرگ‌ترین عددش مربع شود برابر مجموع مربع‌های دو عدد دیگر خواهد بود. این گام بلندی به جلو بود که فیثاغورسیان به‌خوبی از آن بهره گرفتند(صفحهٔ ۱۰۱).

    جنبهٔ دیگری که فیثاغورسیان فریفته‌اش بودند، میانه‌ها بود. نخست آن‌ها در فکر میانهٔ عددی بودند(یعنی عدد میانی در تصاعد عددی سه جمله‌ای. برای مثال، در تصاعد ۴، ۵، ۶، میانه عدد ۵ و در تصاعد ۴، ۸، ۱۲، میانه ۸ است). بعید نیست که این را فیثاغورس در سفرش به بابل آموخته باشد.(صفحهٔ ۱۰۳)

    اخترشناسی فیثاغورسی آشکارا بدهی فراوانی به بابلی‌ها داشت.(صفحهٔ ۱۰۴)

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان
    کعبه زرتشت نمادی از دانش نجوم ریاضی نزد ایرانیان باستان

    بنای کعبه ی زرتشت همانطور که در تصویر دیده می‌شود، دارای تعدادی پنجره ی کور و تعدادی پله در مقابل درب ورودی بنا می‌باشد. تاریخ ساخت این بنا به اعتقاد باستان شناسان به حدود 500 قبل از میلاد (2500 سال پیش) باز می گردد، که یادآور یکی دیگر از آثار بجامانده از داریوش کبیر هخامنشی است. کاربرد اصلی این بنا تا بحال در پرده ی ابهام باقی مانده است. نظریات مختلفی در این مورد مطرح شده که یکی از آنها نظریه ی آقای مرادی غیاث آبادی است. اساس این نظریه بر مبنای تشکیل سایه های مختلف در پنجره های کور و ایجاد سایه های گوشه شمال شرقی بنا، بر پلکان در هنگام طلوع خورشید و ظهر حقیقی می‌باشد.

     

    در مورد سایه ی لبه های درونی پنجره ها، محاسبات غیاث آبادی نشان می‌دهد که پرتو خورشید در هنگام طلوع و در روزهای اول مهرماه و فروردین ماه دقیقاً در راستای شرق جغرافیایی است و همانطور که در شکل 1 نمایش داده شده این پرتو در امتداد خط OD بر پنجره های ردیف سوم یا در امتداد خط "O"E بر پنجره های ردیف دوم قرار دارد و به همین ترتیب چون مکان طلوع خورشید در هر ماه نسبت به شرق تغییر می‌کند، امتداد پرتوهای تابیده بر پنجره ها نیز تغییر می‌کند. مثلاً در روز اول آبان و اسفند که میل خورشید حدود 11- درجه می‌باشد، این پرتو در امتداد OE بر پنجره ها می تابد و زاویه ی DOE دقیقاً نیز برابر با 11 درجه است. به همین ترتیب برای 9 ماه از سال مطابق شکل مقابل پرتو خورشید بامدادی در نخستین روز هر ماه بر مکان خاص از پنجره های بنا می تابد و بر این اساس می‌توان شروع هر ماه خورشیدی را با رصد سایه ها متوجه شد.

    در ماههای خرداد، تیر و مرداد نیز می‌توان از پرتوهای بامدادی تابیده بر در شرقی و غربی بنا استفاده کرد. بدین ترتیب که مطابق شکل مقابل انحراف پرتو ورودی از شرق در روز اول خرداد و اول مرداد که میل خورشید حدود 20 درجه می‌باشد، در ضلع شمالی بر اثر کسر انحراف 18 درجه ایِ بنا، به 2 درجه رسیده و در امتداد پاره خط OA که نسبت به ضلع شمالی 2 درجه انحراف دارد، بر لبه ی غربی در بنا می تابد و در روزهای اول تیرماه نیز به همین ترتیب پرتو خورشید بامدادی در امتداد OB که نسبت به ضلع شمالی 5ر5 (= 18-5ر23)درجه انحراف دارد بر لبه ی شرقی بنا قرار می گیرد.

    در مورد پله ها نیز همین طور می‌توان لبه ی سایه ی بنا را بر پله ای خاص برای آغاز هر ماه مشاهده کرد. زیر نشان دهنده ی پلان بنا و هم چنین سایه ی لبه ی شرقی بنا بر روی پله ها و سایه ی لبه ی بام بنا، بر روی همان پله هاست. بدین ترتیب که روز اول مهر و فروردین سایه بر امتداد پله 27، در اردیبهشت و شهریور بر پله 29، در خرداد و مرداد بر پله 30، در تیر بر آخرین بخش پله 30 و در آبان و اسفند بر پله 25، در آذر و بهمن بر پله 23 و بالاخره در دی ماه بر پله 22 قرار می گیرد. همچنین در هر روز از هفته آخر شهریور سایه ی لبه ی بام، در ظهر به ترتیب بر هفت پله آخر پلکان می تابد.

     

    و بدین ترتیب نویسنده ی کتاب نتیجه می گیرد که این بنا برای نوشتن تقویم و یا یافتن اول هر ماه شمسی به طور دقیق، بکار می رفته است، و این نشان از دانش نجوم ریاضی نزد ایرانیان باستان دارد.

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان
    ریاضیات و باستانشناسی

    مهندسان هخامنشی با کشف راز عددپی.ستون‌های تخت جمشیدرابنانهادند!!!!!!!!!!مهندسان هخامنشی راز استفاده ازعددپی (14/3) را دو هزار و 500 سال پیش کشف کرده بودند. آنهادر ساخت سازههای سنگی و ستون‌های مجموعه تخت جمشید که دارای اشکال مخروطی است، از این عدد استفاده میکردند.

    ( ۳/۱۴در علم ریاضیات از مجموعه pعدد پی ) اعداد طبیعی محسوب می شود. این عدد از تقسیم محیط دایره بر قطر آن به دست می آید. کشف عدد پی جزو مهمترین کشفیات د ر ریاضیات است. کارشناسان ریاضی هنوز نتوانسته اند زمان مشخصی برای شروع استفاده از این عدد پیش بینی کنند.عده زیادی،مصریان وبرخی دیگر،یونانیان باستان را کاشفان این عددمیدانستنداما بررسی‌های جدید نشان می‌دهد هخامنشیان هم با این عدد آشنا بودند.

    «عبدالعظیم شاه کرمی» متخصص سازه و ژئوفیزیک ومسئول بررسی ها ی مهندسی در مجموعه تخت جمشید در این باره گفت: «بررسی ‌های کارشناسی که روی سازه‌های تخت جمشید به ویژه روی ستون‌های تخت جمشید و اشکال مخروطی انجام گرفته. نشان می‌دهد که هخامنشیان دو هزار و 500 سال پیش از دانشمندان ریاضی دان استفاده می کردند که به خوبی با ریاضیات محض و مهندسی آشنا بودند. آنان برای ساخت حجم‌های مخروطی راز عدد پی را شناسایی کرده بودند.»

    دقت و ظرافت در ساخت ستون‌های دایرهای تخت جمشید نشان می‌دهد که مهندسان این سازه عدد پی را تا چندین رقم اعشار محاسبه کرده بودند. شاه کرمی در این باره گفت : «مهندسان هخامنشی ابتدا مقاطع دایره ای ر ابه چندین بخش مساوی تقسیم میکردند.سپس درداخل هر قسمت تقسیم شده،هلالی معکوس را رسم می کردند.این کار آنهارا قادر می ساخت که مقاطع بسیار دقیق ستون‌های دایره ای را به دست بیاورند. محاسبات اخیر، مهندسان سازه تخت جمشیدرادرمحاسبه ارتفاع ستون ها،نحوه ساخت آنها،‌فشاری که بایدستون ها تحمل کنند و توزیع تنش درمقاطع ستون ها یاری می کرد.این مهندسان برای به دست آوردن مقاطع دقیق ستونها مجبور بودندعددپی راتا چند رقم اعشار محاسبه کنند.»

     هم اکنون دانشمندان در بزرگ ترین مراکز علمی و مهندسی جهان چون «ناسا» برای ساخت فضاپیماها و استفاده از اشکال مخروطی توانسته اند عدد پی را تا چند صد رقم اعشار حساب کنند. بر اساس متون تاریخ و ریاضیات نخستین کسی که توانست به طور دقیق عدد پی را محاسبه کند، «غیاث الدین محمد کاشانی» بود. این دانشمند اسلامی عدد پی را چند رقم اعشاری محاسبه کرد. پس از او دانشمندانی چون پاسکال به محاسبه دقیق تر این عدد پرداختند.

    هم اکنون دانشمندان با استفاده از رایانه‌های بسیار پیشرفته به محاسبه این عدد میپردازند شاه کرمی با اشاره به این موضوع که در بخش‌های مختلف سازه تخت جمشید، مقاطع مخروطی شامل دایره،بیضی، و سهمی د یده میشود، گفت: «به دست آوردن مساحت، محیط وساخت سازه‌هایی با این اشکا ل هندسی بدون شناسایی راز پی و طرز استفاده از آن غیرممکن است.»

    داریوش هخامنشی بنیانگذارتخت جمشید در سال 521 پیش از میلاد دستور ساخت تخت جمشید را می‌دهد و تا سال 486 بسیاری از بنا‌های تخت جمشید را طرح ریزی یا بنیانگذاری می‌کند. این مجموعه باستانی شامل حصار ها، کاخها،‌ بخش‌های خدماتی و مسکونی، نظام ‌های مختلف آبرسانی و بخش‌های مختلف دیگری است.

    مجموعه تخت جمشید مهمترین پایتخت مقاومت هخامنشی دراستان فارس ودر نزدیکی شهر شیراز جای گرفته است.

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان
    تاریخچه ریاضیات

    نخستین اسناد از استفاده اعداد در مصر باستان به نسخ مربوط به استفاده کاهنان مصری برای حساب چوب خطی به 4000تا 5000 سال قبل از میلاد برمیگردد.آنها از نمادهای زیادی برای همه اعداد استفاده میکردند.

    بعد روش هیروگلیف(مصور) به میان آمد که تا حدودی دست و پاگیر و سلطنتی به حساب می آمد.

    در هیروگلیف نماد خاصی برای جمع و تفریق و ضرب و تقسیم استفاده نمیشد.به جای آن روش و کاری که باید انجام میشد به صورت توضیح نوشتاری در کنار اعداد می آمد.

     

    هیروگلیف اساس سیستم نوشتن مصریان در حدود 3000 سال پیش از میلاد بود.در هیروگلیف تصاویر کمی نماینده کلمات زیادی هستند..مثلا کلمه "پرنده" توسط تصویر کوچکی از یک پرنده نمایش داده می‌شود.مشکل روش اتخاذ شده توسط مصریان باستان استفاده از اصوات گفتاری بجای کلمات بود. به عنوان مثال، برای نشان دادن جمله " پارس سگ را می شنوم" ممکن است نمادهای زیر اسفاده شود:

    " "چشم"، "گوش"، "پوست درخت" + "سر با تاج"، "سگ".

     البته نمادهای مشابه ممکن است به معنای چیزهای متفاوت در زمینه های مختلف باشند، "چشم" ممکن است به معنای "دیدن"باشد در حالی که "گوش" ممکن است دلالت "صدا"کند و نه شنیدن.

     مصریان از دستگاه دهدهی در سیستم هیروگلیف برای اعداد استفاده میکردند.. به این معناکه آنها دارای نمادهای مجزا برای یک، ده، صد، هزار و ده هزار، صد هزار نفر و یک میلیون بودند.

     

     در اینجا نماد هیروگلیف اعداد دیده میشود.

     

    مثلا برای نمایش 276 پانزده نماد مورد نیاز عبارتند از : دو نماد صد، هفت نماد ده، و شش نماد یک.

     

    276 در هیروگلیف.

     

     

    در اینجا مثالی دیگر :

     

    4622 در هیروگلیف.

     

    قابل ذکراست که نمونه هایی از 276 و 4622 در هیروگلیف بر روی کتیبه های کارناک، با قدمت 1500 سال پیش از میلاد دیده می‌شود، و در حال حاضر در موزه لوور در پاریس نگهداری میشود.

    نمادها منحصر به فرد است،و جایگزین نمودن ده نماد برای یک عدد خیلی بزرگ شاید به تدریج سخت و سخت تر شود. نماد کسردر مصر باستان به کسر واحد (به استثنای 2/3 و به میزان کمتری3/4) محدود بود.کسر واحد به صورتn / یک1 مثل یک پنجم که در آن n یک عدد صحیح است در هیروگلیف با نماد یک "دهان"، که به معنای "بخشی" است، بالاتر از عدد مخرج نشان داده می‌شود. در اینجا چند مثال میبینید:

     

     

    باید اشاره نمود که هیروگلیف در طول دو هزار سال تمدن مصر باستان بدون تغییرنمانده است.این تمدن است اغلب به سه دوره مجزا تقسیم می‌شود:

    امپراتوری کهن -- حدود 2700 سال قبل از میلاد تا 2200 سال پیش از میلاد

    پادشاهی میانه -- حدود 2100 سال قبل از میلاد تا 1700 پیش از میلاد

    پادشاهی جدید -- حدود 1600 سال قبل از میلاد تا 1000 پیش از میلاد

     نمایش اعداد در این دوره ها تا حدی متفاوت بود، در عین حال که سبک کلی حفظ میشده است.

    اما هیروگلیف (مصور) زبان رسمی و مربوط به سنگ نوشته ها بود.وبرای مقاصد عادی بیش از حد پیچیده بود.به همین دلیل کاهنان برای محاسبات دم دستی خود از روش دیگری که منتسب به خودشان است استفاده میکردند.

    یکی دیگر از دستگاه های عددی، که در مصر پس از اختراع نوشتن بر روی پاپیروس استفاده می شد،دستگاه اعداد کاهنی (نمادین) بود. در این دستگاه اعداد علاوه بر اینکه نماد اعداد حفظ میشد برای نمایش عدد از نمادهای کمتری استفاده میشد. برای اعداد زیر نمادهای جداگانه ای وجود داشت:

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1

    10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

    100، 200، 300، 400، 500، 600، 700، 800، 900،

    1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000

     

     یک نسخه از اعداد کاهنی

     

     

     عددی مثل 9999 اکنون تنها از 4 نماد کاهنی به جای 36 نماد هیروگلیف تشکیل می شده است. تفاوت عمده اعداد کاهنی و دستگاه شمارش امروزی سیستم موقعیتی اعداد است.به طوری که یک عدد می‌تواند به هر ترتیبی نوشته شود.

     

     یکی از روش های مصریان برای نوشتن 2765 در دستگاه اعداد کاهنی

     

    روش دیگر نوشتن 2765 در اعداد کاهنی با نظم معکوس

     

    ضرب در مصر باستان:

    مصریان از نماد خاصی برای ضرب استفاده نمی‌کردند.روش خاص آنها این بود که مثلا برای ضرب 226در 13، عدد 13 را به صورت جمع چند عدد از توانهای دو (1و2و4و8و16و32و...)در می آوردند(13=1+4+8) و عدد 226 را در هرکدام از آنها ضرب و جواب ها را جمع میکردند.

    226= 226*1

    904=226*4

    1808=226*8

    2938= 1808+904+226=226*13

     

    نمونه ای از تقسیم :

    مثلا برای تقسیم 256 بر 17 عملیات زیر انجام می شد:

    17=17*1

    34=17*2

    68=17*4

    136=17*8

    1+17+34+68+136=256

    15 + 1/17=1+2+4+8+1/17=256/17

    کسر در محاسبات:

    همانطور که گفته شد بیشتر از کسرهای یک به n استفاده میشد.غیراز 2/3.برای محاسبه ضرب زیر هم از روش مخصوص به خودشان استفاده میکردند:

    2/15=4/30=1/10+1/30=1/5*2/3

    ودر مدل پیشرفته تر آن:

    2/15=4/30=1/10+1/30=1/5*(1/2+1/6)=1/5*2/3.

    به نمایش برخی کسرها توجه کنید:

    آنها به جای 3/8 می نوشتند: 1/2+1/8

    و به جای 3/5 می نوشتند: 1/2+1/10.

     

    کتیبه روزتا:

    هیروگلیف تا قبل از یک اتفاق، ناشناخته و نامفهوم بود.تا زمانی که سنگ روزتا که کتیبه کنده کاری شده به سه زبان هیروگلیفی و کاهنی ویونانی با متنی مشابه بود.این کتیبه باعث شد تا دانشمندان راز زبانهای مصر باستان را کشف کنند. این سنگ نوشته درسال 1800میلادی در جریان اشغال مصر توسط فرانسه بدست سربازان ناپلئون افتاد وپس از حمله فرانسه به انگلستان به آنجا منتقل شد و هم اکنون نیز در موزه بریتانیا نگهداری می‌شود.

    مانند هیروگلیف، نمادهای کاهنی نیزدر طول زمان دستخوش تغییرات زیادی در شش دوره متمایز شدند.نمادهای اولیه کاهنی که مورد استفاده قرار گرفت کاملا نزدیک به هیروگلیف بود اما در طول زمان نمادهای دو دستگاه به هم شباهت بسیاری پیدا کردند. اسناد ما از تاریخچه اعداد کاهنی به حدود 1800 سال قبل از میلاد به دو پاپیروس-پاپیروس رایند و پاپیروس مسکو- برمی گردد.پاپیروس رایند توسط رایند عتیقه شناس اسکاتلندی در1858 در مصر خریداری شد.

    پاپیروس رایند:

    پاپیروس مسکو:

     

    دو دستگاه اعداد به مدت 2000 سال به موازات هم در نوشتن روی پاپیروس استفاده می شدند.در حالی که هیروگلیف همچنان در کنده کاری روی سنگها خودنمایی می‌کند.

    گردآوری و ترجمه : خدیجه اقدامی مقدم

    منابع:

    http://www.gap-system.org

    http://mathsforeurope.digibel.be

    http://www.mta.ca

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان
    اعداد مصری باستان

    در سیستم شمارش عربی با 10 رقم(از صفر تا 9) می­توانیم اعدادی هرچقدر بزرگ که بخواهیم بسازیم. بدین گونه که همه ارقام را برای شمارش تا 9 بکار می­بریم و پس از آن برای ساختن اعداد بزرگتر، آنها را با هم ترکیب می­کنیم. به همین خاطر هر اندازه که جا برای نوشتن داشته باشیم، عدد کم نمی­آوریم...

    در سیستم شمارش عربی با 10 رقم(از صفر تا 9) می­توانیم اعدادی هرچقدر بزرگ که بخواهیم بسازیم. بدین گونه که همه ارقام را برای شمارش تا 9 بکار می­بریم و پس از آن برای ساختن اعداد بزرگتر، آنها را با هم ترکیب می­کنیم. به همین خاطر هر اندازه که جا برای نوشتن داشته باشیم، عدد کم نمی­آوریم.

    اما مصریان باستان به گونه­ای دیگر فکر می­کردند، آنها یک خط ساده به معنای یک داشتند، مثل ما، اما در عوضِ یک نماد جدید برای عدد 2، آنها دو خط بکار می­بردند. به همین گونه سه خط برای عدد 3، چهار خط برای عدد چهار و تا نُه خط برای عدد 9. تا اینجا تقریبا تعداد زیادی خط وجود دارد! بنابراین مصریان برای عدد 10 یک نماد جدید ابداع کرده­اند.

    سپس آنها اضافه کردن خطوط برای واحدها و نماد ده برای دهگانها را ادامه می­دهند تااینکه به صد برسند. در اینجا نیز باز به یک نماد جدید نیاز است.

    اینگونه دستگاه شمارش، "یگانی" نامیده می­شود. در میان تمدنهای باستانی این سیستم متعارف و مشترک است. یک مزیت سیستم یگانی این است که تفاوتی در ترتیب نوشتن اعداد وجود ندارد. شما می­توانید نمادها را در هم بریزید و همچنان معنای آنها را پیدا کنید. اما در سیستم شمارش ما 123 معنائی متفاوت از 321 دارد.

    مصریان نیز درست مانند ما 10 را پایه سیستم شمارش خود قرار داده بودند. وجود ده انگشت در دستان، این مساله را عادی می­نمایاند.

    - نماد یک به احتمال از انگشت گرفته شده است. هرکسی شمارش را با انگشتانش آغاز می­کند.

    - نمادها با بزرگتر شدن اعداد پیچیده­تر می­شوند. نماد عدد ده تکه­ای از یک ریسمان است.

    - نماد عدد صد یک ریسمان مارپیچ است.

    - نماد عددهزار یک لوتوس یا نیلوفر آبی است که برگ، ساقه و ساقه­های زیرزمینی یا ریشه را نشان می­دهد.

    - نماد عدد ده­هزار یک انگشت منفرد بزرگ است. شاید این انگشت ده­هزار مرتبه بزرگتر از نماد یک است.

    - نماد صدهزار یک بچه قورباغه است که به نظر تاحد زیادی به یک قورباغه دگرگون شده است. اگر دلیل استفاده این سمبل برای عددی به این بزرگی را می­خواهید استخری مملو از تخم قورباغه که همگی در حال دگردیسی به قورباغه­های کوچک هستند را در نظر بیاورید.

     - نماد یک میلیون الهه­ای به نام "Heh" است.

    مصریها حتی نمادی برای بینهایت نیز داشته­اند که بزرگتر از هر عددی که نوشته می­شده بوده است. این نماد یک دایره است که شما می­توانید همواره بر روی آن حرکت کنید بدون اینکه به پایان برسید.

    Ra (خدای خورشید) عقابی است که این نماد را در هریک از چنگال ­های خود حمل می­کند.

    مصریان به سیستم شمارشی قوی برای ساختن اهرام نیاز داشته­اند. آنها باید مقدار سنگ مورد نیاز اهرام، غذای مورد نیاز روزانه کارگران و همچنین برای انبار کردن و اینکه هیچگاه تمام نشود را محاسبه می­نموده­اند.

    آنان همچنین نمادهائی برای کسرها داشته ­اند اما هیچ نمادی برای صفر نداشته ­اند.

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان
    شمارش در مصر باستان

    در سیستم شمارش عربی با 10 رقم(از صفر تا 9) می­توانیم اعدادی هرچقدر بزرگ که بخواهیم بسازیم. بدین گونه که همه ارقام را برای شمارش تا 9 بکار می­بریم و پس از آن برای ساختن اعداد بزرگتر، آنها را با هم ترکیب می­کنیم. به همین خاطر هر اندازه که جا برای نوشتن داشته باشیم، عدد کم نمی­آوریم.

    اما مصریان باستان به گونه­ای دیگر فکر می­کردند، آنها یک خط ساده به معنای یک داشتند، مثل ما، اما در عوضِ یک نماد جدید برای عدد 2، آنها دو خط بکار می­بردند. به همین گونه سه خط برای عدد 3، چهار خط برای عدد چهار و تا نُه خط برای عدد 9. تا اینجا تقریبا تعداد زیادی خط وجود دارد! بنابراین مصریان برای عدد 10 یک نماد جدید ابداع کرده­اند.

    سپس آنها اضافه کردن خطوط برای واحدها و نماد ده برای دهگانها را ادامه می­دهند تااینکه به صد برسند. در اینجا نیز باز به یک نماد جدید نیاز است.

    اینگونه دستگاه شمارش، "یگانی" نامیده می­شود. در میان تمدنهای باستانی این سیستم متعارف و مشترک است. یک مزیت سیستم یگانی این است که تفاوتی در ترتیب نوشتن اعداد وجود ندارد. شما می­توانید نمادها را در هم بریزید و همچنان معنای آنها را پیدا کنید. اما در سیستم شمارش ما 123 معنائی متفاوت از 321 دارد.

    مصریان نیز درست مانند ما 10 را پایه سیستم شمارش خود قرار داده بودند. وجود ده انگشت در دستان، این مساله را عادی می­نمایاند.

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان
    هندسه (هندازش) در ایران باستان

    هندسه که به معنی هندازش یا اندازه است به معنای دانش مرتبط با تعیین اندازه هاست. اما مفهومی معمولی که از واژه هندسه در علم و فن و نیز در تاریخ علم در ذهن متبادر می‌شود عبارت است از دانش آگاهی از ویژگیهای خطها، شکلها، سطحها و حجمها است.

    دیرنگی دانش هندازش (هندسه) در ایران به چند هزار سال پیش از میلاد می رسد و مدارک یافت شده نشانگر آن است که هندسه از قدیم به صورت دانشی ناب و علمی کاربردی وجود داشته است.

    بسیاری از مورخین پژوهشها را به دانشمندان یونانی منسوب کرده اند و در بررسی هندسه در ایران دوره اسلامی فقط چنین می افزایند که شاخه ای از هندسه علم مثلثات از ایران دوره ی اسلامی ریشه گرفته است.

    فیثاغورث که او را از بانیان علم هندسه دانسته اند و قضیه ای به همین نام بدو نسبت گشته از جمله یونانی بود که به شرق سفر کرده و از معارف شرق کهن بهره برده است.

    الهام وی از ویژگیهای مثلث ها و دستیابی اش به مفهومی مجرد از رابطه میان ضلعهای مثلث قائم الزاویه یکی از ره آوردهای وی از سفرهایش به شوش بشمار می آمد. واما باید دید که سنت های علمی شرق در این زمینه چه بوده است. نیازهای مرتبط با زندگی اجتماعی در شرق باستان سهم عمده ای در تکامل دانش های ریاضی و هندسه داشت.

    سومریان و بعد از آنها بابلیان و همزمان با هر دوی آنها ریاضی دانان و کاتبان معابد شوش،به قواعد مربوط به تعیین سطح زمینهای زراعی و تودههای سنگ و آجر و حجم خاکبرداریهای کانالها دست یافته بودند. در لوحه های گوناگونی که از این سرزمین ها بدست آمده مسایل گوناگون هندسی با روش های عددی و هندسی حل شده است.

    در حدود سال 1800 پیش از میلاد شوشیها و بابلیان افزون بر داشتن قواعدی برای محاسبه سطح و حجم اجسام به روابط نو هندسی در این باره دست یافته بودند. مثلا این ریاضی دانان می دانسته اند که در مستطیل های به اندازه های 3و4 و یا در مستطیل های به اندازه 6و8 مربع قطر مستطیل برابر با مجموع مربعات دو ضلع آن می‌باشد.

    مانند‌هایی عملی وجود دارد که در آنها این دانش بکار رفته در روی لوحه های گلین حک شده است. این قاعده چنانکه می دانیم،به وسیله ی فیثاغورث و با الهام وی از دانشهای شرقی کاملتر شد و به صورت قضیه ای کلی با عنوان قضیه ی فیثاغورث بیان گشت.

    به موجب قضیه ی فیثاغورث،در هر مثلث قائم الزاویه مجموع مربعات دو ضلع مجاور وتر برابر با مربع وتر مثلث می‌باشد.

    با اندکی محاسبه در میابیم که مثلث با ضلع های 3و4و5 نیز مثلثی به اضلاع 6و8و10 مثلثهایی قائم الزاویه را تشکیل می دهند(که نیم یک مستطیل بشمار می آیند) و نیز می بینیم که بنابر قضیه فیثاغورث رابطه3²+4²=5² ) ) ونیز ( 6²+8²=10² ) میان آن اعداد برقرار است.

    شوشیها و بابلیان بدون نوشتن رابطه ی فیثاغورث به گونه ای عددی با مقادیر 5 و10 به عنوان قطر مستطیلهای مربوطه دست یافته بودند.(امروزه نیز در ایران معماران و سازندگان که کوچکترین آگاهی ای از قضیه فیثاغورث ندارند همانند نیاکان هزاران سال پیش خود گوشه های قائم را با اندازه گیری های 3و4 متری و پدیدآوردن قطر 5 متری می سنجند و می سازند. )

    لوح‌های یافت شده در شوش همچنین نشان می‌دهد که از حدود دو هزار سال پیش از میلاد مسیح هندسه دانان شوشی به ویژگی دایره و چند ضلعیهای منتظم محاط در آنها و چگونگی رسم کردن این شکلها آگاهی داشتند.

    یکی از مسایل اصلی که ریاضی دانان یادشده در عمل با آن روبرو بودند تعیین مساحت و محیط دایره بود. هندسه دانان بابلی و شوشی با تعیین مساحت چند ضلعی‌های محاط و افزودن اضلاع آن ها به مساحت دایره مورد نظر خویش می رسیدند. در ضمن چنین ملاحضاتی بود که نخستین محاسبه های مربوط به تعیین مقدار پی (л) بکار می بردند اما ریاضی دانان شوشی (چنانکه از لوح‌های یافت شده بر می آید)به دقتی بیشتر دست یافته بوده اند.

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان
    تاریخچه ریاضیات بابلی و مصری

    ریاضیات بابلی و مصری:

    با پیشرفته تر شدن جامعه بشری، انسان به ریاضیات عملی برای کارهای کشاورزی، مهندسی، علوم مالی و بازرگانی، محاسبات مربوط به زمان و تقویم، سنجش اوزان و مقادیر و... نیازمند شد. کم کم با تقویت ذهن بشر، انسان به تجرید گرایش پیدا کرد و ریاضیات را برای ریاضیات مورد مطالعه قرار داد و در نتیجه، تمدنهایی همچون بابل، مصر، چین و هند ایجاد شد. حال به بررسی مختصر تاریخ ریاضی بابل و مصر باستان می پردازیم به دودلیل: یکی اینکه این دو از پیشرفته ترین تمدنهای باستانی هستند و دیگر اینکه سندهای معتبری از ریاضیات تمدنهای مهم دیگر مانند چین و هند باستان در دست نیست. (البته در قسمتهای بعدی، مختصرا به این دو تمدن نیز خواهیم پرداخت. )

     

    ریاضیات بابلی:

    بررسی لوحهای پخته، نشان از مهارت بسیار بابلیها در محاسبه دارد. بسیاری از محاسبات عددی که برای انواع و اقسام قراردادهای رسمی و غیر رسمی مانند صورت حساب، رهن، قباله و ضمانت لازم بود، به کمک جداول انجام می شد، مانند جداول ضرب، جداول معکوس اعداد،

    جداول مربعات و مکعبات و جداول توانها. این محاسبات بر حسب دستگاه موضعی شصتگانی بوده اند.

    احتمالاْ بابلیها با با قواعد کلی محاسبه مساحتهای اشکال دو بعدی - مانند مستطیل، مثلث و ذوزنقه- و سه بعدی - مانند مکعب مستطیل- و حتی محاسبه مساحت دایره آشنا بوده اند و عدد پی را سه یا سه و یک هشتم در نظر می گرفته اند.

    تقسیم محیط دایره به ۳۶۰ قسمت را مدیون بابلیها هستیم.

    آنها احتمالا با قضیه فیثاغورس نیز آشنا بوده اند. در تجزیه و تحلیل لوح معروفی به نام پلیمپتن (Polimpton) مشخص شده است که آنها با سه تاییهای فیثاغورسی و جداول مثلثاتی به طور حیرت آوری آشنا بوده اند.

    ظاهرا روش حل بعضی از معادلات درجه ۲، ۳ و حتی درجه ۴ را نیز می دانسته اند.

    توجه کنید که ریاضیات ایران باستان را نیز می‌توان جزئی از ریاضیات بابلی دانست.

     

    ریاضیات مصر باستان:

    آنگونه که از بررسی پاپیروسهای به جا مانده از مصریان قدیم می‌توان گفت این است که سطح ریاضی مصریان قدیم، هرگز به ریاضیات بابلی نرسید. بیشتر مسائل ریاضی باقیمانده از مصریان باستان، عددی و بسیار ساده هستند. اما از بعضی لحاظ، ریاضیات مصری را نمی‌توان نادیده گرفت. به طور مثال، مصریان از اعداد بزرگ مانند صدهزار و یک میلیون استفاده می کرده اند و دقت محاسبه ای که در ساختن اهرام مصر به کار رفته، واقعاْ حیرت آور است.

     

    مصریان، ضرب و تقسیم اعداد را به گونه ای جالب انجام می دادند به طویکه نیازی به حفظ کردن جدول ضرب نبود.

    مصریان سعی می‌کردند کسرها را به صورت مجموعی از کسرها با صورت یک بنویسند و به این وسیله مجموع کسرها را راحت تر به دست می آوردند.

    احتمالاْ از تصاعدهای حسابی و هندسی نیز استفاده می کرده اند.

    در جبر مصری تا حدی نماد گرایی نیز وجود داشت و نمادهایی برای جمع و تفاضل داشتند.

    ظاهراْ قاعده محاسبه مساحت مثلث را می دانستند و با بعضی از نسبتهای مثلثاتی(مانند کتانژانت) آشنا بوده‌اند.

    عدد پی را حدوداْ ۳/۱۶ حساب می‌کردند.

    ظاهراْ از قضیه فیثاغورس هیچ اطلاعی نداشتند، اما زاویه قائمه را با ساختن مثلثی به اضلاع ۳، ۴ و ۵ می ساختند.

    بعضی از مسائل (همچون محاسبه درست هرم ناقص مربع القاعده) در پاپیروسهای مصری موجود است که نظیر آن در هیچ جای دیگری از شرق باستان، یافت نشده است

     

    نمونه اعداد مصر باستان

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان
    ریاضیات در مصر باستان

    طومار پاپیروسی با بلندی 33 سانتیمتر و 565 سانتیمتر عرض که در یک معبد در تبس (Thebes) پیدا شده پرارزش­ترین منبع اطلاعاتی در مورد ریاضیات مصر باستان است.

    طومار در بازاری در لوکسور (Luxor) مصر در سال 1858 توسط مرد اسکاتلندی 25 ساله­ای به نام هنری رایند Henry Rhind که بخاطر مداوا به مصر رفته و در آنجا به باستانشناسی علاقمند شده بود، خریداری شد.

    پس از مرگ زودهنگام رایند در سن 30 سالگی، در سال 1864 طومار به موزه لندن انتقال یافت که تااکنون در آنجا باقی مانده و از آن زمان به نام پاپیروس رایند یا RMP(Rhind Mathematical Papyrus) نامیده می­شود.

    نوشته­های هیروگلیف این طومار در سال 1842 کشف رمز شد درحالیکه لوح گلی بابل که به خط میخی نوشته شده بود پس از آن و در قرن 19 رمزگشائی شد.

    متن با تشریح این مساله آغاز می­شود که اَهمس "َAhmes" (تقریبا 1600 قبل از میلاد مسیح و بدینگونه یکی از اولین افرادی که نام او در تاریخ ریاضیات آورده شده ) نویسنده این مطالب است، اما همچنین ذکر شده که او این متن را از نوشته­های باستانی که به احتمال قوی مربوط به 2000 قبل از میلاد مسیح می­شده، رونوشت کرده است.

    با وجود اینکه چند نمونه صریح استفاده از ریاضیات کاربردی مانند محاسبات مورد نیاز مساحی و ممیزی، ساختمان و حسابداری، که در برخی از آنها کسرهای مصری بکار رفته، در این پاپیروس وجود دارد، بیشتر مسایل موجود در RMP معماهای محاسباتی هستند.

    یکی از این معماها به صورت زیر است:

    در 7 خانه 7 گربه زندگی می­کنند. هر گربه 7 موش را می­کشد که هر موش 7 خوشه گندم دارای 7 دانه گندم را خورده است. تعداد نهائی آنها چندتاست؟

    این مساله شباهت بسیار زیادی به مساله st.Ivasدارد.

    چهار پاپیروس کم اهمیت­تر از پاپیروس رایند (در زمینه ریاضیات) نیز وجود دارند:

    پاپیروس مسکو (Moscow Papyrus) و پاپیروس برلین (Berlin Papyrus) (نامگذاری شده براساس محل نگهداری)، پاپیروس Kahun (نامگذاری شده براساس محل یافت شدن) و طومار چرمی (LeatherRoll) (نامگذاری شده براساس جنس طومار).

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان
    اعداد مصری باستان

    در سیستم شمارش عربی با 10 رقم(از صفر تا 9) می­توانیم اعدادی هرچقدر بزرگ که بخواهیم بسازیم. بدین گونه که همه ارقام را برای شمارش تا 9 بکار می­بریم و پس از آن برای ساختن اعداد بزرگتر، آنها را با هم ترکیب می­کنیم. به همین خاطر هر اندازه که جا برای نوشتن داشته باشیم، عدد کم نمی­آوریم.

    اما مصریان باستان به گونه­ای دیگر فکر می­کردند، آنها یک خط ساده به معنای یک داشتند، مثل ما، اما در عوضِ یک نماد جدید برای عدد 2، آنها دو خط بکار می­بردند. به همین گونه سه خط برای عدد 3، چهار خط برای عدد چهار و تا نُه خط برای عدد 9. تا اینجا تقریبا تعداد زیادی خط وجود دارد! بنابراین مصریان برای عدد 10 یک نماد جدید ابداع کرده­اند.

    سپس آنها اضافه کردن خطوط برای واحدها و نماد ده برای دهگانها را ادامه می­دهند تااینکه به صد برسند. در اینجا نیز باز به یک نماد جدید نیاز است.

    اینگونه دستگاه شمارش، "یگانی" نامیده می­شود. در میان تمدنهای باستانی این سیستم متعارف و مشترک است. یک مزیت سیستم یگانی این است که تفاوتی در ترتیب نوشتن اعداد وجود ندارد. شما می­توانید نمادها را در هم بریزید و همچنان معنای آنها را پیدا کنید. اما در سیستم شمارش ما 123 معنائی متفاوت از 321 دارد.

    مصریان نیز درست مانند ما 10 را پایه سیستم شمارش خود قرار داده بودند. وجود ده انگشت در دستان، این مساله را عادی می­نمایاند.

     نماد یک به احتمال از انگشت گرفته شده است. هرکسی شمارش را با انگشتانش آغاز می­کند.

     نمادها با بزرگتر شدن اعداد پیچیده­تر می­شوند. نماد عدد ده تکه­ای از یک ریسمان است.

     نماد عدد صد یک ریسمان مارپیچ است.

     نماد عددهزار یک لوتوس یا نیلوفر آبی است که برگ، ساقه و ساقه­های زیرزمینی یا ریشه را نشان می­دهد.

    نماد عدد ده­هزار یک انگشت منفرد بزرگ است. شاید این انگشت ده­هزار مرتبه بزرگتر از نماد یک است.

     نماد صدهزار یک بچه قورباغه است که به نظر تاحد زیادی به یک قورباغه دگرگون شده است. اگر دلیل استفاده این سمبل برای عددی به این بزرگی را می­خواهید استخری مملو از تخم قورباغه که همگی در حال دگردیسی به قورباغه­های کوچک هستند را در نظر بیاورید.

     نماد یک میلیون الهه­ای به نام "Heh" است.

     مصریها حتی نمادی برای بینهایت نیز داشته­اند که بزرگتر از هر عددی که نوشته می­شده بوده است. این نماد یک دایره است که شما می­توانید همواره بر روی آن حرکت کنید بدون اینکه به پایان برسید.

     Ra (خدای خورشید) عقابی است که این نماد را در هریک از چنگال ­های خود حمل می­کند.

    مصریان به سیستم شمارشی قوی برای ساختن اهرام نیاز داشته­اند. آنها باید مقدار سنگ مورد نیاز اهرام، غذای مورد نیاز روزانه کارگران و همچنین برای انبار کردن و اینکه هیچگاه تمام نشود را محاسبه می­نموده­اند.

    آنان همچنین نمادهائی برای کسرها داشته ­اند اما هیچ نمادی برای صفر نداشته ­اند.

    علم لقمه برگرفتن از سفره طبیعت است. و ریاضی زاییده احتیاجو در آغازمبتنی بر تجربه. ریاضیات انعکاس دنیای واقعی در ذهن ماست. به عقیده بعضی‌ها :ریاضیات زیباترین زبان برای توصیف طبیعت و روابط بین پدیده‌های طبیعی است. سیلوستر می‌گوید:"ریاضیات،مطالعه شباهتها در تفاوتها و مطالعه تفاوتها درشباهتهاست." علت اساسی موفقیت ریاضیدانان در آفریدن علمی به این زیبایی که عمیق‌ترین معرفت بشری شمرده می‌شود:سخت‌گیری بدون بخشش کوچکترین خطاها در کنار روش و معیارهای منطقی آنها به همراه جدیت، خلاقیت، به غایت اندیشیدن و نیز بلند پروازی و جسارت شکستن هر چه موجود است. به هر قسمت از زندگی که کنجکاوانه و با دقت بنگریم، اثر مستقیم یا غیر مستقیم ریاضیات در آن مشاهده می‌کنیم. نمونه آن کشف اخیر این مساله توسط دانشمندان است که :" یکی از انواع حشرات که بر روی شاخ و برگ درختان لانه سازی می‌کند، روش کارش بر اساس یک فرمول پیچیده ریاضی است." در حالت کلی ریاضیات راه های متعددی برای باز شدن فکر در اختیار ما قرار دارد که از مهمترین آنها مطالعه ی ریاضیات از جمله شاخه ی تر کیبیات است.ریاضیات این کمک را به ما میکند تا مشکلات و موضوعات زندگی را بهتر و راحت تر تجزیه و تحلیل کنیم. آمارهای جهانی نشان می‌دهد طلاق در خانواده هایی که حداقل یکی از همسران ریاضی خوانده است در مقایسه با سایر خانواده ها بسیار کمتر است. ریاضیات و علوم اکثر ریاضیدانان بگونه طبیعت شناس هستند یا اینکه هم فیزیکدان و هم ریاضیدان هستند. یعنی فیزیکدانان برای حل مشکلی از طبیعت یا بررسی مسائل طبیعی به ریاضیات مراجعه نموده‌اند. بنابرین با ابزار ریاضی و ذهن خلاق فیزیکی میتوان پرده از خیلی مبهمات و مجهولات برداشت و ریاضی فیزیکی شد. و به کشفهای بزرگی دست یافت که الگوی دانشمندان هم این بوده‌ است. پس علوم مختلف بهم تنیده شده و مکملهای همدیگرند. رشد یکی به دیگری وابسته هست و لازم پیشرفت در یک شاخه از علم پیشرفت در شاخه ای دیگر هم هست. مثالهای زیر این مسئله را برای ما روشن تر میکند. کارل فردریک گوس (1777-1855) روی نقشه های جغرافیایی کار می گرد. با روش گوس توانستند بسیاری از نقشه های جغرافیایی را نقشه برداری اصلاح کنند. ولی این روش که برای تهیه و تصحیح نقشه های جغرافیایی در نظر گرفته شده بود، برای حل مساله ی حرکت آب در اطراف یک جسم و یا حرکت هوا در اطراف بال هواپیما هم به کار گرفته شد. می بینید، ریاضیات سالها از صنعت جلوتر است و انسان می‌تواند به یاری ریاضیات مساله های پیچیده ی صنعت را حل کند. به کمک یک نظریه ی ریاضی که پیش تر کشف شده بود توانستند مساله های عملی مهمی را حل کنند. جیمس کلارک ماکسول (1831-1879) فیزیکدان انگلیسی، قانون نوسان های الکترو مغناطیسی را به یاری معادله های ریاضی بیان کرد. او با روش خالص ریاضی نتیجه گرفت و ثابت کرد موجهای الکترو مغناطیسی با سرعتی نزدیک به سرعت نور منتشر می شوند. در ضمن ماکسول تاکید کرد در طبیعت به جز موج های کوتاه، موجهای الکترومغناطیسی بلند هم وجود دارند. پیش بینی ماکسول به حقیقت پیوست و 25 سال بعد، موجهای رادیویی کشف شدند. در زمان ما دقت فیزیک امروزی متوجه ذره های بنیادی است که مهم ترین آنها الکترون، پروتون و نوترون هستند. ولی آیا شما می دانید همه ی این ذره های بنیادی پیش از مشاهده پیشگویی و بعد کشف شدند. نخستین ذره ی بنیادی یعنی الکترون را ژوزف جان تامسون، فیزیکدان انگلیسی (1856-1940) کشف کرد ولی پیش بینی آن را ج بستون، فیزیکدان ایرلندی در سال 1872 و سپس هلمهولتس (1821-1892) فیزیکدان و ریاضیدان آلمانی در سال 1881 کرده بودند. مساله ای به نام حرکت ذره های ریز- الکترون ها، پروتونها، نوترونها و... وجود دارد که بررسی آن، قانون تغییر ذره ها را در شرایط متفاوت مشخص و تنظیم می‌کند. در این بررسی بسیاری از پدیده های مربوط به فیزیک اتمی و فیزیک هسته‌ای روشن می شوند. این بررسی به صورت یکی از شاخه های فیزیک ر آمده است و به نام مکانیک "کوانتایی" معروف است. بسیاری از کشف های مربوط به مکانیک کوانتایی و بسیاری از قانون های آن براساس پیشگویی های نظری و بر اساس نظریه ها و روش های ریاضی به دست آمده اند. دانشمندان هم براساس همین پیشگویی های نظری، بررسی ها و پژوهش های آزمایشی خود را انجام دادند و در نتیجه مساله های زیادی روشن و قانون های بنیادی مهمی تنظیم شدند. آیا تنها در مکانیک کوانتایی است که در آغاز به یاری ریاضیات، حکم نظری تازه و تازه تری را کشف کردند و سپس از راه آزمایش آنها را تایید کردند؟ در زمینه ی سینماتیک گازها هم پیش تر به صورت نظری، بستگی بین درجه ی حرارت، مالش (اصطکاک) دائمی گازها و ارزش نسبی و مجرد انتشار ثابت با هدایت حرارت، محاسبه می شد و سپس بر اساس این محاسبه کشف های مهم و با ارزشی صورت گرفت. موفقیت های تازه و کشف های جدیدی که در فیزیک، شیمی، اخترشناسی، زیست شناسی و سایر دانش های طبیعی و فنی به دست آمده اند. براساس تشکیل نظریه های تازه ی ریاضی و یا استفاده از نظریه های کهنه و فراموش شده ی ریاضی انجام گرفته است.

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان
    ریاضیات باستان – قسمت ششم

    در ۲۳ سالگی به همراه هیأتی علمی مشغول اندازه گیری طول یک درجه از یک نصف النهار زمین شد. درباره نظریه شکل زمین، نظریه ماه و بازگشت ستاره دنباله دار هالی کارهای زیبایی انجام داد. در معادله دیفرانسیل،معادله ای به نام معادله کلرو وجود دارد. پدر و برادر او نیز ریاضیدان بودند.

    دالامبر: او یکی از پیشگامان حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. او در ریاضیات کاربردی و مبانی آنالیز ریاضی کارهای ارزشمندی دارد. دالامبر اعتقاد داشت که برای قرار دادن آنالیز بر یک شالوده محکم، به نظریه معتبری از حد توابع نیاز است ولی معاصرین او اعتنایی به این مطلب نکردند. او برای اثبات قضیه اساسی جبر - که هر چند جمله ای با ضرایب مختلط حداقل یک ریشه مختلط دارد - تلاش بسیار کرد به گونه ای که هم اکنون این قضیه در فرانسه به قضیه دالامبر معروف است. مطالب جالبی از دالامبر درباره ریاضیات نقل شده است. یکی از گفته های او را نقل می کنیم بدون اینکه درباره آن اظهار نظر کنیم: «تردید ندارم که اگر انسانها جدا از هم زندگی می‌کردند و در وضعیتی بودند که به چیز دیگری جز حفظ بقای خود نمی پرداختند، مطالعه علوم دقیقه را بر پروردن هنرهای دلپذیر ترجیح می دادند، زیرا به خاطر دیگران است که انسان در هنر به کمال می رسد ولی انسان به خاطر خویشتن، خود را وقف علوم دقیقه می‌کند. بنابر این به نظر من، در جزیره ای متروک یک شاعر به ندرت می‌تواند خود را مفید بداند، در حالی که یک ریاضیدان می‌تواند هنوز هم از غرور اکتشاف سرشار باشد. »

    لامبرت: یوهان هاینریش لامبرت، ریاضیدانی با کیفیت عالی بود و قوه تخیل بسیار قوی داشت. پسر خیاط فقیری بود و عمدتاً پیش خود درس خوانده بود. او اولین کسی بود که اصم بودن عدد پی را به طور دقیق ثابت کرد. او نشان داد که اگر x گویای ناصفر باشد آنگاه tan x اصم است. حال چون، پس عدد پی اصم است. بسط منظم نظریه توابع هذلولوی و نمادهای امروزی این توابع را مدیون او هستیم. او در منطق ریاضی و نیز هندسه نااقلیدسی نیز کار کرده است.

    لاگرانژ: احتمالا می‌توان لاگرانژ را اولین آنالیزدان واقعی دانست. بعضی از ریاضیدانان، لاگرانژ را حتی از اویلر نیز بزرگتر می دانند. نوشته های لاگرانژ کوتاهتر اما بسیار دقیقتر از نوشته های اویلر است. ظاهراً شعور ریاضی او نیز از اویلر قویتر بود. برای مقایسه این دو بد نیست بدانیم که می‌توان ریاضیدانان بزرگ را به دو دسته عملگران رسمی خبره و نظریه پردازان خبره تقسیم کرد که عده کمی نیز در هر دو دسته قرار دارند. با این دسته بندی اویلر در دسته اول، لاگرانژ در دسته دوم و گاوس دانشمندی سر آمد در هر دو دسته بود. عبارت معروف و جالبی از لاگرانژ نقل شده است که به ذکر آن می پردازیم: «یک ریاضیدان به فهم کامل هر بخش از کار خود دست می یابد مادام که چنان وضوحی به آن بخشیده باشد که بتواند آن را به نحو قاطعی به اولین شخصی که در معبر به او برمی خورد، توضیح دهد.» مطالب دیگر پیرامون اعتقادات لاگرانژ را در قسمت مربوط به لاپلاس خواهیم آورد. جالب است بدانید ناپلئون بناپارت درباره لاگرانژ چنین اظهار نظر کرده است: «لاگرانژ برج رفیع علوم ریاضی است.» حال به کارهای مهم او در ریاضیات می پردازیم:

    - نمادهای برای مشتق اول، دوم و... تابع f، به لاگرانژ منسوب است.

    - او بنیانگذار اولین نظریه توابع با یک متغیر حقیقی است.

    - لاگرانژ کتابی دارد به نام «در حل معادلات عددی از کلیه درجات» که در آن روشی برای تقریب ریشه های حقیقی یک معادله به کمک کسرهای مسلسل ارائه می‌دهد.

    - سهم او در پیشرفت معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بسیار قابل توجه است.

    - او میل وافری به نظریه اعداد داشت و رساله های مهمی در زمینه نگاشت. او این قضیه مهم را که به نام خود او ثبت شد، اثبات کرد: هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر ۴ مربع نوشت.

    - بعضی از کارهای او در نظریه معادلات بعدها رهنمون گالوا در نظریه گروهها شد و قضیه مهمی به نام قضیه لاگرانژ در این نظریه وجود دارد.

    لاپلاس: لاپلاس را نیوتن فرانسه می خواندند زیرا او کتابی پنج جلدی پیرامون مکانیک سماوی تالیف کرد که همه کشفیات قبلی در این زمینه، همراه با سهم خود او را در بر می گرفت و مولف را به عنوان استادی بی رقیب در این موضوع متشخص کرد. او در احتمالات، معادلات دیفرانسیل و ژئودزی نیز کارهای برجسته ای انجام داده است. هم عصر لاگرانژ بود اما از بسیاری لحاظ با او تفاوت داشت. به طور مثال تفاوت بارزی در سبک آنها وجود دارد. «کار لاگرانژ هم در صورت و هم در معنی کمال دارد و فهم استدلالهای او آسان است؛ اما لاپلاس هیچ چیز را توضیح نمی‌دهد، به سبک اعتنا نمی‌کند و اگر قانع شود که نتایجش درست هستند، برهانی برای آن ارائه نمی‌کند یا برهان غلطی ارائه می‌کند.» یکی از منجمین متذکر شده است که هرگز نشد به یکی از عبارات «بنابر این آشکار است » لاپلاس بربخورم بی آنکه مجبور باشم ساعتها برای پر کردن این شکاف کار کنم تا آن را بفهمم و نشان دهم که این مطلب چگونه به سادگی آشکار است!! در نظر لاپلاس ریاضیات کوله ای از ابزار است که برای توضیح طبیعت به کار می رود؛ اما در نظر لاگرانژ، ریاضیات هنری والاست و دلیل وجودی آن، خود آن است. البته لازم است بدانیم که لاپلاس برای مبتدیان در تحقیقات ریاضی بسیار سخی بود و در موارد متعددی از انتشار کشف خود، اجتناب می کرد تا به یک مبتدی اجازه دهد که زودتر از او فرصت انتشار آن را داشته باشد. لاپلاس دقیقاً صد سال بعد از درگذشت نیوتن از دنیا رفت و بنابر روایتی آخرین کلمات او چنین بود: آنچه می دانیم بسیار کم و آنچه نمی دانیم به غایت زیاد است.

    لژاندر: کار عمده لژاندر حول نظریه اعداد، توابع بیضوی، روش کمترین مربعات و انتگرالها متمرکز بود. شهرت او عمدتاً به خطر کتاب «اصول هندسه» اوست که در آن قضایای هندسه اقلیدس مجدداً تنظیم و ساده شده است. بعدها این تالیف به صورت نمونه کتاب درسی در آمریکا درآمد و ترجمه انگلیسی آن ۳۳ مرتبه تجدید چاپ شد. نام لژاندر امروزه با یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم و جواب این معادله یعنی توابع لژاندر و چندجمله ایهای لژاندر و نیز در نظریه اعداد با نماد معروف لژاندر پیوند خورده است. او یک کتاب ۸۵۹ صفحه ای در دو جلد در نظریه اعداد دارد که اولین کتابی است که منحصراً به نظریه اعداد اختصاص دارد. او همچنین کتابی به نام «تمرینهای حساب انتگرال» نوشت که به علت جامعیت و قابل درک بودن با اثر مشابه اویلر برابری می‌کند. او به خاطر مثلث بندی کشور فرانسه به شهرت قابل توجهی دست یافت.

    مونژ: گاسپار مونژ در 16 سالگی معلم فیزیک مدرسه ای شد که خود در آن درس خوانده بود. او با ابداع هندسه ترسیمی - که نمایش اشیاء سه بعدی به کمک تصاویر دو بعدی است - معروف شد. او در دانشگاه فیزیک نیز تدریس می کرد و معلمی با استعداد استثنایی بود. مونژ را پدر هندسه دیفرانسیل می دانند. اثر او تحت عنوان «کاربرد آنالیز در هندسه» پنج بار چاپ شد و یکی از مهمترین مباحث اولیه هندسه دیفرانسیل رویه ها بود. او در این اثر، مفهوم خطوط انحنای یک رویه در فضای سه بعدی را معرفی کرد. همچنین مطالبی که هم اکنون در هندسه تحلیلی فضایی مانند بررسی خطها و صفحات در فضا، فرمولهای انتقال و دوران محورها، فاصله یک نقطه از یک خط در فضا و کوتاهترین فاصله بین دو خط متنافر بررسی می‌شود از کارهای مونژ است. جالب است بدانید که او دوست نزدیک ناپلئون و به شدت و در همه حال به او وفادار بود چه زمانی که ناپلئون بناپارت سرجوخه ای آرمانگرا و انقلابی بود و چه زمانی که امپراطوری خودخواه و مستبدی شد. مونژ مدتی به عنوان وزیر نیروی دریایی وارد خدمت شد و به ساختن اسلحه و باروت برای ارتش پرداخت. او دو برادر داشت که آنها نیز استاد ریاضیات بودند.

    کارنو: او یکی از دانشجویان مونژ بود و او نیز شغل نظامی داشت. همانند استادش هندسه دان بود و برای اولین بار کمیتهای جهت دار را در هندسه ترکیبی به کار گرفت. یکی از کارهای کارنو پیدا کردن حجم یک چهار وجهی بر حسب شش یال آن بود. در ضمن فرمولی شامل ۱۳۰ جمله به دست آورد که هر یک از ۱۰ پاره خط واصل بین دو نقطه از ۵ نقطه تصادفی در فضا را بر حسب ۹ پاره خط دیگر بیان می‌کند. کارنو پسری داشت به نام «سعدی» که بعدها فیزیکدان برجسته ای شد. او به دلیل علاقه ای که به سعدی شیرازی داشت پسر خود را چنین نامگذاری کرد. نوه ای هم به نام سعدی داشت که رئیس جمهور فرانسه شد. کارنو بر خلاف مونژ بر علیه ناپلئون رای داد و راهی تبعیدگاه شد.

    سوفی ژرمن: این قرن شاهد ورود جدی زنان به پهنه های ریاضیات بود. سوفی ژرمن به علت زن بودن از ثبت نام در «اکول پلی تکنیک» - یکی از معروفترین دانشگاهای فرانسه- منع شد؛ اما یادداشتهای اساتید زیادی از آنجا را تهیه می کرد و حتی با اسمی مستعار مقالاتی نوشت که تحسین لاگرانژ را برانگیخت. او حتی بعدها مورد تعریف و تمجید گاوس نیز قرار گرفت. در سال ۱۸۱۶ آکادمی فرانسه به خاطر مقاله ای در نظریه ریاضی کشسانی، جایزه ای به وی اعطا کرد. او مفهوم انحنای میانگین را به هندسه دیفرانسیل رویه ها معرفی کرد.

    لینک ثابت
    نویسنده : mojarradat | دسته : سایه روشن ، ریاضیات باستان